# **توزيع برنولي: عندما تكون النتيجة إما نجاح أو فشل**
> [!INFO]
> **"توزيع برنولي هو توزيع احتمالي لحدثين فقط، يُستخدم في الحالات التي تكون فيها النتائج إما نجاح أو فشل."**
> — تعريف بسيط لتوزيع برنولي
## **ما هو توزيع برنولي؟**
توزيع برنولي (Bernoulli Distribution) هو أحد أبسط التوزيعات الاحتمالية. يتميز بوجود متغير عشوائي يمكن أن يأخذ واحدة من نتيجتين فقط، عادةً ما تُسمى "نجاح" أو "فشل". يُستخدم هذا التوزيع في الحالات التي تكون فيها الاحتمالات ثنائية، مثل رمي عملة (وجه أو كتابة)، أو اختبار ما إذا كان جهاز إلكتروني يعمل (تشغيل أو عدم تشغيل).
### **الصيغة الرياضية لتوزيع برنولي**
> [!TIP]
> **دالة احتمالية الكتلة (PMF) لتوزيع برنولي:**
> $P(X = x) = p^x (1 - p)^{1 - x}$، حيث $x \in \{0, 1\}$
حيث:
- $p$ هو احتمال النجاح.
- $1 - p$ هو احتمال الفشل.
### **خصائص توزيع برنولي**
1. **يتم تحديده بمعامل واحد فقط ($p$)**:
إذا كان احتمال النجاح $p$، فإن احتمال الفشل يكون $1 - p$.
2. **نتائج ثنائية (0 أو 1)**:
عادةً ما يُعبر عن النجاح بالعدد 1 والفشل بالعدد 0.
---
## **أهمية توزيع برنولي في الحياة اليومية**
### **1. رمي العملة**
أحد أكثر الأمثلة شيوعًا هو رمي عملة. هناك نتيجتان فقط: "وجه" أو "كتابة". إذا اعتبرنا أن الحصول على "وجه" هو نجاح، فإن احتمال النجاح هو 0.5 والفشل هو 0.5 أيضًا.
### **2. اختبارات الجودة في التصنيع**
في خط إنتاج، يمكن أن يكون اختبار المنتج مثالاً على توزيع برنولي. إذا كان المنتج يعمل بشكل صحيح، يُعتبر نجاحًا (1)، وإذا كان معيبًا، يُعتبر فشلًا (0).
### **3. تجربة الدواء**
عند اختبار فعالية دواء معين، يمكن اعتبار كل اختبار تجربة من نوع برنولي، حيث إما أن يكون الدواء فعالًا (نجاح = 1) أو غير فعال (فشل = 0).
---
## **الفرق بين توزيع برنولي والتوزيعات الأخرى**
> [!QUESTION]
> "ما الفرق بين توزيع برنولي وتوزيع ثنائي الحدين؟"
- **توزيع برنولي:** يتعلق بتجربة واحدة فقط، وتكون النتائج إما نجاحًا أو فشلًا.
- **توزيع ثنائي الحدين (Binomial Distribution):** يتعامل مع عدد من التجارب المستقلة، ولكل تجربة احتمال نجاح ثابت. في الواقع، يمكن اعتبار توزيع برنولي حالة خاصة من توزيع ثنائي الحدين عندما يكون عدد التجارب مساويًا لـ 1.
### **مثال توضيحي:**
إذا قمت برمي عملة معدنية لمرة واحدة فقط، فإن احتمالات الحصول على "وجه" أو "كتابة" يمكن وصفها باستخدام توزيع برنولي. بينما إذا قمت برمي العملة 10 مرات، فإن توزيع النتائج يمكن وصفه بتوزيع ثنائي الحدين.
---
## **كيفية توليد بيانات بتوزيع برنولي باستخدام Python**
### **استخدام مكتبة NumPy لتوليد بيانات بتوزيع برنولي**
يمكنك استخدام مكتبة **NumPy** لتوليد بيانات عشوائية بتوزيع برنولي:
```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# توليد 1000 قيمة عشوائية من توزيع برنولي مع احتمال نجاح 0.3
bernoulli_data = np.random.binomial(1, 0.3, 1000)
# رسم البيانات
plt.hist(bernoulli_data, bins=2, edgecolor='black')
plt.title("Histogram of Bernoulli Distribution")
plt.xlabel("Outcome")
plt.ylabel("Frequency")
plt.show()
```
### **شرح الكود**
- تم توليد 1000 قيمة عشوائية من توزيع برنولي، حيث تمثل القيمة 1 نجاحًا باحتمال 0.3 والقيمة 0 فشلًا.
- ثم تم رسم هذه القيم في شكل **Histogram** لإظهار توزيع النتائج.
> [!NOTE]
> توزيع برنولي هو أساس التوزيعات الثنائية الأخرى مثل توزيع ثنائي الحدين وتوزيع بواسون.
---
## **تحليل البيانات باستخدام توزيع برنولي في Pandas**
يمكنك أيضًا استخدام **Pandas** لتحليل بيانات توزيع برنولي:
```python
import pandas as pd
# توليد بيانات بتوزيع برنولي باستخدام NumPy
bernoulli_data = np.random.binomial(1, 0.5, 1000) # احتمال نجاح 0.5
# إنشاء DataFrame باستخدام Pandas
df = pd.DataFrame(bernoulli_data, columns=["Bernoulli Data"])
# حساب الاحتمالات الأساسية
success_count = df["Bernoulli Data"].sum()
failure_count = len(df) - success_count
print("Number of successes:", success_count)
print("Number of failures:", failure_count)
```
> [!TIP]
> **Pandas** يوفر أدوات تحليلية قوية لمساعدتك في فهم بيانات التوزيعات الثنائية.
---
## **الخاتمة: توزيع برنولي كأداة لتحليل التجارب الثنائية**
توزيع برنولي هو أحد أهم التوزيعات الاحتمالية، نظرًا لبساطته وأهميته في وصف التجارب الثنائية. سواء كنت تحلل نتائج اختبار منتج، أو تجري تجربة دواء، أو حتى تلعب لعبة تعتمد على رمي عملة، يمكن أن يوفر توزيع برنولي طريقة سهلة لفهم النتائج وتوقعها.
---
#توزيع_برنولي #الاحتمالات #التجارب_الثنائية #التحليل_الإحصائي #التوزيعات